这是一个专门讨论 idea 的地方。
每个人的时间，资源是有限的，有的时候你或许能够想到很多 idea，但是由于现实的限制，却并不是所有的 idea 都能够成为现实。
那这个时候，不妨可以把那些 idea 分享出来，启发别人。
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这是一个创建于 1609 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
背景：假如我去吃火锅，已知锅里有 N 个鹌鹑蛋，我想要把这些蛋捞来吃。每个蛋被捞到的概率均为 P （重庆火锅红汤，看不到锅底，），并且一次捞出的个数没有限制。但是，如果我连续 T 次都没捞到，那我就会放弃。
问题：当我放弃后，锅里剩下的鹌鹑蛋的个数的期望 E 是多少？（可以假设 N=10, P=0.2, T=5 ）
这应该是一个概率论问题，一直没想到如何得到公式解。用程序模拟得到数据解应该是可行的。
问题：当我放弃后，锅里剩下的鹌鹑蛋的个数的期望 E 是多少？（可以假设 N=10, P=0.2, T=5 ）
这应该是一个概率论问题，一直没想到如何得到公式解。用程序模拟得到数据解应该是可行的。
第 1 条附言 · 2020-06-27 15:16:31 +08:00
补充一下结论： N=10, P=0.2, T=5的情况下，E=0.5499853034737232（根据9楼的DP解法得到）
结果可以参考下图：
左图是我用程序模拟的，右图是DP解法。E随着T的增加快速下降，N的增加不会带来E的显著提升。可以看到坚持捞5次是不错的选择，E<1。
可以总结出一个有趣（但无用）的吃蛋小技巧，无论放了多少蛋在锅里，当你的耐心值 T 固定时，剩下的蛋的期望是基本一致的。
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daen 2020-06-26 16:27:05 +08:00  1
瞎猜一下：N*(1-P)^T
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morningD OP @daen 你的思路是转换成等价的问题吧。对于每个蛋来说，连续 5 次没被捞到的概率是(1-P)^T，所以根据二项分布的期望，剩下的个数的期望是 N*(1-P)^T 。感觉挺合理的
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murmur 2020-06-26 17:02:02 +08:00
E=0，因为你捞不出来那肯定是都被别人捞走了，吃火锅是那么大一个漏勺，如果你鹌鹑蛋都捞不出来他大概率就是没了
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gwy15 2020-06-26 17:17:46 +08:00
能解出来解析表达式，我得写写。最后得解一个 n 元 1 次方程，或者递归也可以。
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Jooooooooo 2020-06-26 17:18:51 +08:00
挺好的问题, 可以上知乎问问
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murmur 2020-06-26 17:22:17 +08:00 2
既然有兄弟想认真讨论，我就写几句
这种把现实生活转到数学上肯定加了巨多的限制，否则没法解，比如我提几个 1 、楼主捞蛋是怎么进行的，是一个地方一下还是围着锅转一圈 2 、有其他的食材干扰楼主判断么，比如你是捞到大的东西就去看一下 3 、总在一个地方捞么，如果捞不到会不会换地方 4 、有没有其他人干扰你捞食材 本人挑食，涮锅子基本上荤菜只吃鹌鹑蛋，专业捞蛋选手，只要锅里有我绝对能给他捞出来，你还想让我放弃 |
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TigerK 2020-06-26 17:50:21 +08:00
额，吃火锅从来没点过鹌鹑蛋，想问问好吃不？是连壳子一块下去煮吗？
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gwy15 2020-06-26 18:39:08 +08:00 5
https://gwy15.com/blog/%E7%81%AB%E9%94%85%E6%8D%9E%E8%9B%8B
v 站不支持公式，我丢我博客去了。相对于直接求解 DP 的 O(n^2 T) ，把复杂度降到了 O(n^2)。由最后的分式结果我比较怀疑能找到 O(n) 的解法。 |
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sephinh 2020-06-26 18:56:27 +08:00 via Android
在你思考这个问题的时候，蛋已经全被别人拿漏勺打扫干净了....
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morningD OP @daen 我写了一个简单的程序验证了一下，根据前面假设的数值，循环 1000 次的平均期望是 0.001 ，N*(1-P)^T=3.2768，所以你的猜想大概率不正确
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morningD OP @sephinh 哈哈，但是这又回到了这个概率问题，别人如何确定已经打扫干净了呢？根据我多次吃火锅（红汤）的经验，永远不知道锅底还剩下什么
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morningD OP @gwy15 非常感谢，我去写个程序验证一下。另外，咱把这个问题扩展一下，如果希望期望<e，那么 T 的最小下界应该是多少呢？
假如 e=1，是的，我最多只能忍受送一个蛋给服务员，那我应该怎么捞 |
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Elethom 2020-06-26 19:31:12 +08:00 via iPhone
感觉这里用户的统计学水平还不如手游玩家，这种抽卡期望的问题早就被研究透彻了。
帮你转化一下：十连抽，SSR 掉率 20%，抽到就收手，抽五次还没抽到就不抽了。 |
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murmur 2020-06-26 20:14:10 +08:00
楼主这个问题应该假设为，一个锅里分布着鱼蛋和鹌鹑蛋，问捞起鹌鹑蛋的期望是多少，先简化问题才能分析，首先得保证能捞到东西，如果捞不到东西我就会满锅扒拉
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dingyaguang117 2020-06-26 20:27:40 +08:00
因为连续捞 T 次没捞到，这个过程就会结束。所以这个动作序列的总长度为
(T-1)*(N-1) + 1 。 我觉得可以用暴力搜索解决 |
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dingyaguang117 2020-06-26 20:28:18 +08:00
@dingyaguang117 更正，总长度最大为 (T-1)*(N-1) + 1
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newtype0092 2020-06-26 23:50:40 +08:00 2
@murmur “每个蛋被捞到的概率均为 P，并且一次捞出的个数没有限制”，这个就是明确的数学条件，背景只是套一个场景，条件一致的情况下用勺子捞蛋看是否捞出和扔骰子看点数没有区别，讨论概率问题谁管你说的那些“情况”。
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murmur 2020-06-27 00:02:19 +08:00
@newtype0092 好吧，这么复杂的一个问题就被简化为这么简单一个模型，还一时间让人接受不了
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xiadong1994 2020-06-27 02:43:12 +08:00
@morningD 建议你把你的模拟代码发出来，这种概率问题的“模拟”程序很有可能有错。
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sixg0d 2020-06-28 06:28:48 +08:00 1
初高中搞数学竞赛的对这种题就不陌生了，记得华东师大的竞赛丛书里有一册讲概率的，很多这种类型的题，还套上了驴象之争、东风西风之类的背景，挺有意思的。
9 楼 @gwy15 给出的(1.7)式可以直接推出来的。根据（捞到的）首次捞出来的个数分情况（也就是求条件期望），如果一直没捞到，就是式中的首项，首次捞到 L 个蛋的条件下，最后的期望就是 f(n-L)，而捞到 L 的概率就是若干次(0~T-1)捞空紧随着一次 L 的概率，也就是(1.7)式中 f(n-L)的系数。具体的求和号前是若干次捞空的概率，后面是捞 L 的二项式概率。 |
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sixg0d 2020-06-28 06:52:43 +08:00
至于你说的期望不太受 N 影响，用这种递推想法可以很直观得解释：有 N 蛋而结束捞蛋的概率是(1-p)^{NT}，所以有很大概率会继续捞下去，所以最后的期望约等于 N 比较小的时候。至于 N 比较小时期望的变化，以及你所说的合理策略，其实是跟 p 有关的
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967182 2020-06-28 16:09:24 +08:00
哎，我次火锅的时候就光顾着捞了，捞完就往嘴里塞，重来没想过这么高深的问题。
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zhuweiyou 2020-06-29 14:45:12 +08:00
蛋不够了，喊服务员再叫一盘吧。
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garyzhuang 2020-06-30 17:59:08 +08:00
这取决于汤勺的大小吧
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richieboy 2020-07-01 09:32:06 +08:00
P 的值明显是越来越小的
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