为什么会有无理数？

V2EX = way to explore

V2EX 是一个关于分享和探索的地方

现在注册

已注册用户请登录

这是一个专门讨论 idea 的地方。

每个人的时间，资源是有限的，有的时候你或许能够想到很多 idea，但是由于现实的限制，却并不是所有的 idea 都能够成为现实。

那这个时候，不妨可以把那些 idea 分享出来，启发别人。

这是一个创建于 2628 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

起因是想到 1/3 是 0.33 无限循环小数，但是我想如果不是 10 进制，是 9 进制，那 1/3 就是 0.3 了
继而想到无限不循环小数，即无理数

比较熟知的无理数有根号 2 根号 3 pie 等等
简单在百度百科看了一下 https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0
对证明根号 2 是无理数的证明也可以理解

但我的想法是为什么会有无理数？就是说（ 0，1 ）之间都是有无穷无尽的可能
这个问题可能和为什么有质数一样，当然并不指望能得到完美的答案。
自己想不出来，就发出来，好放下这个。

无理

根号

环小数

质数

46 条回复 • 2017-09-03 10:24:42 +08:00

DiamondbacK

2017-09-02 09:39:10 +08:00

找一本数学分析的实数理论来读读。

silencefent

2017-09-02 09:45:24 +08:00

代数是被发明的，这个世界没有"数”这一概念，代数里所有的一切都是伴随各个公理产生，公理不可证

xratzh

2017-09-02 09:48:07 +08:00 via iPhone

推荐知乎周刊 VOL165，《数学妙啊！妙！》

CEBBCAT

2017-09-02 09:51:01 +08:00 via Android

有无穷个数，找到适合每一个的进制并不容易

Valyrian

2017-09-02 09:55:25 +08:00

楼主是想问“为什么无理数用几进制表示都是无限不循环小数”吗？

nullcoder

2017-09-02 09:59:18 +08:00

@Valyrian #5
也可以算是我想问的，但是我觉得 #4 基本回答了。
更想问的是为什么有这种“东西存在”

比如 pie 定义是圆的周长和直径的比值，这个为什么就是一个无理数，为什么不是类似 1/3 这样的。
同理根号 2，根号 3 等。

ipwx

2017-09-02 10:01:38 +08:00

无论你用什么表示方式，分式也好，十进制小数也好，九进制小数也罢，都只是某个“数”的表示方式。

我们首先假定“整数”是不言而喻的，你我都清楚“整数”的概念。通过除法可以从整数派生出有理数。然而当你研究有理数的无穷序列的时候，发现不是所有满足柯西收敛准则的有理数序列（简称柯西序列）都能在有理数里面找到收敛的极限。比如我先写一个 3，再写一个 3.1，然后写 3.14 ，以此类推…… 你会发现明明有限步操作内，每一个写出来的数字都是有理数，但是当我把它无限写下去，却不是一个有理数。

因为找不到任何一个整数除以整数，等于这个无限的不循环的小数。

因此我们需要延拓有理数域，引入无理数这个概念。有理数和无理数加起来就是实数域。实数域满足任意柯西序列都能在实数域中找到收敛到的极限，即无穷序列的很多操作都是良定义的。

所以实数的定义根基是无穷序列的收敛。用收敛的语言来看，如果两个实数 |a-b| < epsilon （即两个数的差小于任何大于零的数），那么这 a 和 b 就代表了同一个数，无论你用什么方式去表达这两个数。因为不存在一个小于“大于零的任何数”的实数。譬如 0.999999.... （零点九九循环）和 1 就是同一个数。

这些都是实分析的内容，楼主有兴趣可以去学一学。

Cbdy

2017-09-02 10:02:51 +08:00 via Android

没学过高数吗？

momocraft

2017-09-02 10:03:11 +08:00

我觉得存在本身的原因是... 因为有人定义了能产生无理数的运算。
整数的加减乘除的闭包得不到无理数。如果没有定义方根，可能很久后人们才会因为别的原因发现第一个无理数。

nullcoder

2017-09-02 10:06:17 +08:00

@Cbdy
年少不知愁滋味，没好好学

WildCat

2017-09-02 10:09:28 +08:00

@momocraft 请问 π 是如何运算产生的？ e 呢

ipwx

2017-09-02 10:09:37 +08:00

有理数不满足所有柯西列收敛，因此引入无理数，只是从有理数延拓到无理数的一种基点。事实上存在另外的基点来引入无理数，当然这最终能退出这些基点互相都是等价的。

譬如根号二，如果你写出这样的一个集合： {x^2 < 2}，你可以证明（略）在无理数范围内这个集合不存在上确界。这时候我们引入无理数，确保任何有理数和无理数加起来的这个数域里面，所有有上界的非空集合都有上确界。通过这个基点，一样能得到实数，并且满足柯西收敛准则。

WildCat

2017-09-02 10:09:45 +08:00

π 是 pi，字体问题

ipwx

2017-09-02 10:10:52 +08:00

@WildCat pi 和 e 都是客观存在的某个“数”。只不过通过某些运算（大多是无穷序列求和，也有积分），你可以证明得到的那个答案“等于” pi 或者 e。

ipwx

2017-09-02 10:11:56 +08:00

@WildCat 譬如 https://zh.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%E7%9A%84%E8%8E%B1%E5%B8%83%E5%B0%BC%E8%8C%A8%E5%85%AC%E5%BC%8F

ipwx

2017-09-02 10:13:43 +08:00

。。上面某一楼写错了一点，

{x^2 < 2}，你可以证明（略）在有理数范围内这个集合不存在上确界。

jarlyyn

2017-09-02 10:15:01 +08:00 via Android

因为无理数是客观存在的，有理数是人类在认知能力还比较匮乏的时候自己发明的。

ryd994

2017-09-02 10:16:37 +08:00 via Android

有限小数总是可以表示为分数
这个问题换一个问法：为什么分数不能表示数轴上所有的数？
毕达哥拉斯也不知道，但他对此表示强烈谴责。

imzhong

2017-09-02 10:17:07 +08:00

数学在逻辑上必须是完备的

RqPS6rhmP3Nyn3Tm

2017-09-02 10:30:48 +08:00 via iPhone

有理数无法填满实数轴
Epsilon - Delta 证明

WhoMercy

2017-09-02 10:45:09 +08:00 via Android

@nullcoder
我的理解是：
其实无理数都是被定义出来的，类比“复数”，在实际中可能很难找到对应的实例（或具体表现），但它们却实实在在的影响着运算结果。
所以就先定义这些数再给它们赋值，就造成了“无理数”的出现。
关于π，就是通过观察、假设、定义出圆的周长和半径的关系系数π，再通过微积分（极限）的方法算出面积和π的关系。
因为我们有多种途径可以测得周长和半径，也就能推出π的数值（近似值，根据测量方法会产出生不同精度），而这个数正好是无限不循环的（无理数）。

但其实我不知道无理数的证明过程，所以后面部分算是主观猜测。

kofj

2017-09-02 10:53:24 +08:00

没人说楼主的例证就错了吗？十进制里面的 1 和 3 与九进制里面的 1 和 3 一样？还有很多的吐槽点。。。

panda1001

2017-09-02 10:57:01 +08:00 via Android

@kofj
我也一直在想 0.1 算不算二进制里的无理数

Vinty

2017-09-02 11:39:20 +08:00

@panda1001 然而 0.1 在二进制里面也是循环小数，即有理数

ipwx

2017-09-02 11:41:45 +08:00

@kofj 没错。十进制的 0.3 = 3 * 10^{-1}。十进制的 0.3333.. 应该定义为无穷级数 sum_{i=1}^N (3 * 10^{-N})。

因此九进制的 0.3 = 3 * 9^{-1}

DiamondbacK

2017-09-02 11:45:10 +08:00

@panda1001 一个数是否等于两个整数之比，结论不管在什么进制里都一样。
0.1 = 1/10 = 1/(1010)_2

momocraft

2017-09-02 11:47:20 +08:00

一个数是 model，用几进制写出来只是 view。无限不循环小数显然不等于无理数，在几进制都一样。

momocraft

2017-09-02 11:47:41 +08:00

*无限循环小数

stabc

2017-09-02 11:47:57 +08:00

十进制的 10/30，在 9 进制的表示方式不是 10/30，而是 11/33

chaker

2017-09-02 12:29:48 +08:00

这需要理由吗？

nullcoder

2017-09-02 12:30:15 +08:00

@momocraft #27 的意见和我一样

@panda1001 @kofj
这是不同进制间小数转化方式，可以从 10 进制小数转 2 进制小数开始看。
http://www.cnblogs.com/xkfz007/articles/2590472.html

无理数比如自然底数 e，还有根号 2 pie，这些都是首先天然存在于自然界的。
然后在数学上被发现，并用一种特殊的方式表示。

md5

2017-09-02 12:49:56 +08:00

pi 不是 pie

ipwx

2017-09-02 14:39:54 +08:00

@nullcoder @momocraft 其实当你们说到“无限不循环小数”的时候，你们已经陷入误区了。

因为你们无法精确定义任何一个“无限不循环小数”。你们给别人看到的都是有限位数的小数，而当没有循环这一规则时，任何你没有写的小数位，都是未定义的。数学不讨论任何无定义的东西。

真正严谨地讨论无理数，必须基于明确的定义。譬如一个积分的结果，一个收敛的无穷级数的和。

davidqw

2017-09-02 15:21:05 +08:00

@imzhong 哥德尔或许不这么看

siriussilen

2017-09-02 15:23:49 +08:00

无法定义一个数的精确程度
1.0000000000 … = 0.999999999 ……
0.6666666666 …… 7 = 0.666666 …… 6
看看微积分学教程

fyyz

2017-09-02 15:31:08 +08:00 via Android

楼主已经开始思考第一次数学危机的内容了，2000 年前就有人思考这个东西了

am241

2017-09-02 15:31:19 +08:00 via Android

搜索数学直觉主义数学构造主义

summerwar

2017-09-02 15:48:49 +08:00

因为它不讲道理，所以叫无理数

oulongqi

2017-09-02 16:39:53 +08:00

事情是这样的：

曾今有个学派叫做毕达哥拉斯学派，他们信奉万物皆整数或整数之比（有理数）。后来有个不听话的学生质疑他们这个学派的观点，说：『老大，我发现边长为 1 的正方形的对角线不能写成整数或者整数的比，怎么办？』后来他老大（毕达哥拉斯）就火了，一怒之下把这个学生就给弄死了。后来越来越多的人发现好像这个学生是对的，那就是有理数没办法挤满整个数轴，有理数之间还有大量的缝隙（现代的测度论观点证明了有理数集的测度为 0，也就是说有理数的数量和无理数比起来根本不值一提），于是就为无理数正了名。后来逐步证明了当有了无理数之后，有理数+无理数能够密密麻麻的挤满整个实数轴，万事大吉。

然后时间来到了十七世纪，一群爱搞事数学家（笛卡尔、欧拉、高斯等）发现，为什么要局限于一根数轴上呢，我们可以往平面上搞事。于是发明了复数，再后来哈密尔顿在有提出了四元数（四维），当然这些都是后话了。

tnx2014

2017-09-02 21:28:02 +08:00

@nullcoder

其实关于引入无理数的严格理由，ipwx 举了一些角度和例子，已经说得很好了。但我想这毕竟不是纯数学学术讨论，楼主还是希望有不那么严谨但更直观一些的解释。

楼主的问题，其实涉及到完备性的概念，不严谨的解释，完备性就是对于一个集合，用某种标准去考察它，如果所有满足这种标准的元素都在这个集合内，就说这个集合在这种角度下是完备的，因为在这个角度看来，我们不用再给这个集合添加新元素。

例如对于一般空间而言，完备性的定义就是：任何空间中的柯西列的一致收敛极限包含于这个空间中。这个具体含义你不做相应研究可以不用深究，总之就是对空间这种集合，定义了某种东西，要求满足所有满足这个性质的元素包含在这个空间中，如果满足这个标准，就称这个空间是完备的。

其实毕达哥拉斯的学生希帕斯发现的问题就是类似，既然你这学派认为“万物皆数（有理数）”，那两直角边都为 1 的直角三角形的斜边长怎么表示呢？就是说，我们如果以三角形边长为标准，总有一些边长不在有理数的集合中，所以从这个角度看，有理数集合是不完备的，引入无理数可以完备化。

imzhong

2017-09-02 23:01:32 +08:00

@davidqw 数学是我们认知世界的工具，作为工具我们希望在我们所认知的范围内能完整表达世界，从这种意义上来说，数学必须要求自己完备（以及一致），所以才有自然数、有理数、无理数、复数，也许未来还有其他数的产生，否则数学就失去了解释力。至于哥德尔所说，更像是我们的理性根本达不到这种统一，但并不妨碍我们去追求。