不错，但是 dark mode 个人界面有些字是黑色的。

仅做参考：

M1 Pro 16G
默认画质
后台别的所有程序全关

打 boss 的时候还是会有点卡。奇怪的是移动问题，用键盘的时候，有时候会一直往前走（即使松开了 S 键），只有再按一下 S 才会好，比较影响战斗体验。

@huzhikuizainali 并不清楚是哪种标准，也有可能是我的 latex 或者 markdown 语法有问题。我是直接手打的，没有试过编译。能看懂就可以。

我们讲，直接对 12 作用 f ，并不能得到 13 ，这个中间是缺一步的。我们讲，具体的过程可以如下所示：

对于 12 使用 f 可以得到：
$$
f(X) \in f \(
f^{-1}(V_{a_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{a_m})
\)
$$

对于右边，使用函数基本性质可以得到：
$$
f \( f^{-1}(V_{a_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{a_m}) \)
\in
f \( f^{-1}(V_{a_1}) \) \cup \dots \cup f \( f^{-1}(V_{a_m}) \)
$$

对于右边，因为对于任何 E ，$ f ( f^{-1} (E)) \in E $，所以可得：
$$
f \( f^{-1}(V_{a_1}) \) \cup \dots \cup f \( f^{-1}(V_{a_m}) \)
\in
V_{a_1} \cup \dots \cup V_{a_m}
$$

把这几个属于连在一起即可得 13 。

这个毛病我感觉是搜索历史记录引起的。清一下历史记录可能会好很多。

@daoremi 日有所思 夜有所梦吧。每天专注的事情，确实会在梦里有体现。

日有所思，夜有所梦。咱经常梦中证定理，醒来后发现是一坨。

网上这个不好找，特别是解析更不好找。很多卷子大概是学校圈子内部共享的，就是几所学校组成一个联盟，然后联盟内部共享试卷，一般不会向外流出的。我自己（三四年以前）作的是天利 38 套，我有同学做金考卷，淘宝上有，便宜。但是天利的试卷是明显有错漏的，我刷的题量大，感觉天利有几本错漏很少，有几本错漏很多。所以就是淘宝上销量最好的那几套，感觉好很多。

我成功率一直挺高的，虽然就是可能有几秒延迟这样子。

@huzhikuizainali 这个参考 dirichlet function ，类似的我们会参考以前的例子，来构造新的例子，主要是要对于常见例子熟悉。

@huzhikuizainali #17

g(x) 的定义为， 如果 x 有理数，那么 g(x) = 1/|x|, 如果 x 是无理数，那么 g(x) = 0 。你可以拿这个 g 去验证一下无穷大量和无界量的顶替。你会发现 g 是无界量，但不是无穷大量。

@huzhikuizainali

教材我其实很推荐毛子教材翻译过来的教材。有一个系列叫：
https://book.douban.com/series/581
非常好的书。因为毛子分析确实很强。

里面关于分析的我看过的是微积分学教程 by 菲赫金戈尔茨，非常不错，内容很充实，建议要看的话稍微选着看，他内容非常多。
另一本卓里奇的听很多人说也很不错，我没看过，不做评价。

@huzhikuizainali sorry for typo.

x_0 中_指代的是下标的意思，这个指定义中的 x_0 。

g 确实是 1/|x|，typo 。

@huzhikuizainali #12

就我所知无界量的定义不是很重要，对于微积分来讲。

另外我前两天对于无界量和无穷大量的理解有问题，他们其实是不同的。无穷大量要求 neighbourhood 里面每一个都满足|f(x)|> M. 但是无界量，只要有一个满足就好了。

我们定义 f(x) = 1/|x|, if x neq 0, f(0) =0, x_0 = 0. 很显然这个既是无穷大量又是无界量。

我们定义 g(x) = 1|x|, if x is not rational, g(x) = 0 if x is rational, x_0 =0 . 很显然这个是无界量。
但是并不是无穷大量。譬如取 M = 1 ， 你不存在 delta ， 使得 delta 大小的去心领域内， 对于任意 x ， 都有 g(x) > 1 。
因为你总可以找到一个有理数 r 比 delta 小，于是 r 在 delta 大小的去心领域内，但是 g(r) = 0 < 1.

如果你不是学校需求，需要考试，我不建议学中文教材。或者至少选择外国教材的翻译教材。我个人的感觉很多中文教材没有 intuition ，他不会介绍概念的起源和理解，而是强行灌输知识。我认为的好的教材，是会把你的 intuition 变成数学分析的 intuition 的，会重塑你的 intuition 的。

@huzhikuizainali #10

的确无穷小量和有界量，而且他们是不同的。但是数学上不存在所谓“相反”概念的严格定义，至少我没有看到过。“相反”是你理解上的相反，是你 intuitive 的相反，而不是数学意义上严格的相反。

正因为所谓的相反不是数学上严格的定义，所以你没有办法证明：“如果 A 和 B 相反，C 和 D 相反，且 B 和 D 不同，那么 A 和 C 必然不同”。

你这个问题本质上的逻辑是在根据你的主观直觉，主观理解来判断他们相反，但是注意数学分析有很多反直觉的结论。在数学分析中你不能依靠感觉，而需要依靠严格的逻辑，定义，和推理。

@Alex222222222222 #8

是“我也不知道他为什么要给两遍”，不是“你”。

@huzhikuizainali #7

所以我说我认为这两个概念是 identical 的。你也不知道他为什么要给两遍。

@huzhikuizainali #4

这样的话，我个人认为他们之间的主要区别就是作用的对象不同。你看定义中，无穷大量明显是强调那一个固定的点 x0 的。

另外对于所谓临域，空心临域之类的，你可以认为这是严格的数分的逼近的定义。不知道你有没有看到 sequence of points 的 converge 的定义。你可以比较他和无穷大量的定义，你会发现无穷大量观察的是 x 趋向于 x0 的时候的性质。