关于 RSA 算法的疑问

关于 RSA 算法的疑问

网上很多 RSA 的证明都是基于欧拉定理 m ^y(n) = 1 mod n

m ^(ky(n) + 1) = 1 ^k • m mod n = m

这里,有个前提是 m 和 n 互质啊, 这里 n =p•q
现实中,我们需要加密的消息千奇百怪,很有可能 m = p 或者 p 的倍数。
这样就不满足欧拉定理条件？

在 m = k *p 的情况下,如何证明呢

/***
p = 3 
q = 5
n =  15
y(n) = (3-1) * (5-1) = 8
e = 3  pulic key
d = 3  private key
e * d =  y(n) + 1 =  9 ;
 
***/
console.log('\tM \tEuler test \tRSA test ')
for (let msg = 0; msg < 15; msg++) {
  var z = msg;
  var z0 = msg;

   z = (z * z) % 15;
   z = (z * z) % 15;
   z = (z * z) % 15;
   var rsa = z * z0 % 15;
   console.log(`\t ${msg} \t${z}${z==1 ? '  ' : ' x'} \t${rsa} `)
  
}

结果

 M       欧拉测试(m^8==1)    Rsa 测试(m^9=m) 
         0      0 x     0 
         1      1       1 
         2      1       2 
         3      6 x     3 
         4      1       4 
         5      10 x    5 
         6      6 x     6 
         7      1       7 
         8      1       8 
         9      6 x     9 
         10     10 x    10 
         11     1       11 
         12     6 x     12 
         13     1       13 
         14     1       14 

竟然不支持表格

结果也是正常,消息 m 需要与 n 互质欧拉公式菜鸟成立,但是 RSA 确能正常加解密