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从一个服从 N(μ, σ)的总体中抽取容量为 m 的样本，求 m 的最大值服从什么分布？
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mutelog OP 更正：求样本的最大值服从什么分布
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Jooooooooo 2021-02-10 01:28:56 +08:00  2
简单搜了一下似乎并不是一个简单的题目
相关的帖子: math.stackexchange.com/questions/473229/expected-value-for-maximum-of-n-normal-random-variable |
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noqwerty 2021-02-10 01:35:15 +08:00 via Android
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necomancer 2021-02-10 02:12:31 +08:00 3
如果是 iid 似乎很简单吧，对任意分布取 n 个值(X_i)，则 P(max(X_i)<=x)=P(x)^n，P 是 cdf，pdf 的话求个导 q(x)=nP(x)^{n-1}p(x), 其中 p 是 P 对应的 pdf
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green15 2021-02-10 03:01:09 +08:00 via iPhone
看不明白楼主说什么……印象中统计有这么一说，只要样本数量增加到足够大，不管原来是什么分布，都会趋向于正态
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xupefei 2021-02-10 03:55:54 +08:00 via iPhone
拍了拍脑袋，应该是标准分布
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noqwerty 2021-02-10 04:35:27 +08:00
@green15 #5 你说的中心极限定理 (CLT) 是说样本量足够大的时候变量均值的分布会接近正态分布，并不能推广到最大值 /最小值
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tankren 2021-02-10 09:00:15 +08:00
高数？
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Mohanson 2021-02-10 09:13:18 +08:00 via Android
和 m 有关，如果 m 无限大就是常数，m 为 1 就是高斯 其他的有请大佬
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northisland 2021-02-10 09:38:09 +08:00
@Jooooooooo 简单说，是中大奖分布的期望。确实不简单。stackexhange 上牛人多。
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Nillouise 2021-02-10 09:54:31 +08:00
写个程序模拟看看不就知道了吗？
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collery 2021-02-10 10:02:39 +08:00
正态分布是啥来着
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xelatex 2021-02-10 10:20:01 +08:00
留意到样本最大值小于某个数和所有样本小于那个数是等价的，假设独立，可以写出样本最大值的累积分布函数。这东西恐怕没有初等表示。画了两个图，可以感觉一下。
i.loli.net/2021/02/10/KoupVg8G92lRj4Y.png i.loli.net/2021/02/10/YMbQF9PpyBxvmO2.png |
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hsfzxjy 2021-02-10 10:20:57 +08:00 via Android 1
同意 @necomancer #4 这其实就是第 m 顺序统计量 https://en.m.wikipedia.org/wiki/Order_statistic
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zst 2021-02-10 10:41:12 +08:00
这是次序统计量的分布问题吧
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superhxl 2021-02-10 10:55:41 +08:00
说正态分布的同学没看清楚吧，样本、总体都是正态分布，但楼主说的是最大值。
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Raven316 2021-02-10 10:58:24 +08:00
@necomancer nb
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noqwerty 2021-02-10 11:43:54 +08:00
@necomancer #4 问题应该就是求导这步，不像 Uniform distribution 这种很容易按公式推出解析解
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Harry1993 2021-02-10 12:13:00 +08:00
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zmx976508106 2021-02-10 14:12:12 +08:00 via iPhone
感觉是 beta 分布
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zmx976508106 2021-02-10 14:12:54 +08:00 via iPhone
@xelatex 这个应该是 beta 分布
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hemind 2021-02-11 13:22:28 +08:00
@necomancer 你求的结果是 n 个值都比 x 小的概率，和 n 个值中的最大值为 x 不是一个概念。应该直接写 pdf，q(max(X_i) = x) = p(x) * P(x)^(n-1)，意为一个值直接取 x，其他值都比 x 小。
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hemind 2021-02-11 13:45:52 +08:00
我上面应该要乘以 n，q(max(X_i) = x) =n * p(x) * P(x)^(n-1)，每个值都可能取到最大值 x 。后来仔细想了下 @necomancer 的结果和我的是一样的，我之前理解错了
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