sage 在同一道题不同步化简阶段求不定积分。得到的结果却不一样，这是为什么?

请看链接中的这道题解关于 L 的不定积分： http://www.mathchina.com/bbs/data/attachment/forum/202010/08/182145aridzif5jrcv5zko.jpg

当使用 sage 从(2-2cos(θ))的不定积分时，得到如下结果： https://sagecell.sagemath.org/?z=eJyrsC1LLNJQr1DX5MpJLEmt0MjMK0lNL0rM0dAw0jXSSs4v1qjQ1Iwz0DPVAdIAW0IN5Q==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

但是当使用 sage 从 2*sin(θ/2)这一步开始计算不定积分的时候就会得到如下结果： https://sagecell.sagemath.org/?z=eJyrsC1LLNJQr1DX5MpJLEmt0MjMK0lNL0rM0dAw0irOzNOo0DfS1NSp0NQEACcyDPs=&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

该结果与图片中的结果一致。请问造成以上结果差异是因为倒数第三步到倒数第二步求绝对值结果造成的么？如果是。那么在我们那使用 sage 或 mathematics 或 sympy 等工具计算解析解时应该如何设置，才能避免计算结果出现类似错误？

sage

结果

积分

步化简

2 条回复 • 2020-10-09 10:30:24 +08:00

mathzhaoliang

2020-10-09 10:16:39 +08:00

不定积分计算的是原函数，两个积分项 sqrt(2-2cosx) 与 2sinx/2 只是在 [0,2pi] 区间上相等，它俩的原函数区别很大，sage 并没有算错。计算数值积分你需要指定积分区间。

Hlianbobo

2020-10-09 10:30:24 +08:00

@mathzhaoliang 你说的对。我赞同你的结论。我的困惑在于如何让数学软件给出正确的解析解和数值解。避免我们在使用软件的时候陷入沉默错误而不知。

举个与上题稍稍不同的例子（减号变加号），因为我刚刚验证过。sqrt(2+2cosx) 。开根号后得到 abs(2cos(θ/2)) ，如果我们要求这个绝对值的不定积分或 0 到 2pi 的数值积分。假设我们在考试。
那么不定积分应该写成：θ属于 0-pi： 4sin(θ/2)
θ属于 pi-2pi： -4sin(θ/2)
数值积分当然应该在不同区间代入不同解析解求解。
达到以上标准才能得分。

那么我们使用数学软件，如何写代码才能避免上述沉默错误，得到完整的正确答案？