[leetcode/lintcode 题解] 背包问题

在 n 个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为 m，每个物品的大小为 A[i]。

• 你不可以将物品进行切割。

样例 1:
	输入:  [3,4,8,5], backpack size=10
	输出:  9

样例 2:
	输入:  [2,3,5,7], backpack size=12
	输出:  12

算法：DP

从已知的题目中，可以总结出以下两点：

• 每件物品只有一种
• 每件物品最多选择一次

那么考虑对于前 i 件的物品在容量为 w 的背包下，最大的装载量是多少，由此可以总结出对应的子结构，进行动态规划。

算法思路

设计 dp 数组 dp[n][m]，用 dp[i][j]表示第 i 个物品在容量为 j 的背包下，最大的装载量。

在这个问题中，若只考虑第 i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前 i−1 件物品的问题：

• 如果不放第 i 件物品，可得 dp[i][j]=dp[i−1][j]
• 如果放了第 i 件物品，可得 dp[i][j]=dp[i−1][j−A[i]]+Ai

总结状态转义方程为：dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−A[i]]+A[i])

复杂度分析

n 表示物品件数，m 表示背包容量

• 时间复杂度：O(nm)
• 空间复杂度：O(nm)

算法优化观察上方的状态转义方程，可以发现 dp[i][j]方程的两个状态都只和 dp[i-1]有关，显然通过 O(nm)的空间复杂度，难免会浪费一些空间。

可以考虑使用滚动数组优化，建立 dp 数组 dp[m]，使用 dp[j-A[i]]代替 dp[i-1][j-A[i]]。优化后状态转义方程为 dp[j]=max(dp[j],dp[j−A[i]]+A[i])

优化后复杂度分析

时间复杂度：O(nm) 空间复杂度：O(m)

代码思路分析

• 建立数组 dp[m]表示背包容量为 m 的情况下，最大的装载量
• 初始化 dp[0]=0
• 正序枚举 A[i]，并倒叙枚举 j，这样所需要的 dp[j-A[i]]不会被提前更新
• 最后返回 dp[m]，表示背包容量在 m 下的答案

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    public int backPack(int m, int[] A) {
        // write your code here
        // 如果背包容量或者物品数量为 0，则直接返回
        if (A.length == 0 || m == 0) {
            return 0;
        }
        int n = A.length;
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 滚动数组优化 倒序枚举 j
            for (int j = m; j >= A[i]; j--) {
                dp[j] = Integer.max(dp[j], dp[j - A[i]] + A[i]);
            }
        }
        return dp[m];
    }
}

更多大厂面试动态规划题解参见：https://www.jiuzhang.com/course/76/?utm_source=sc-v2ex-fks

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