最近老是想起陈芝麻烂谷子的事情，说明工龄所剩无几了。

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又是在那遥远的 2009 年，那个“杯具”已经不是杯具的年头，度厂办个算法比赛，办出了点儿杯具的味道。

比赛的名字叫“百度之星”，那些年在校园里影响力还蛮大的（好像现在还是），大概赛制就是通过初赛、复赛、决赛这么几轮，选出几个社会主义四有青年<del>瓜分奖金</del>。值得一提的是，头两年（ 05 、06 ）冠军都被楼教主承包了。

为什么说有点杯具的味道呢，因为那年的初赛结束以后，度厂搞了个骚操作，把所有参赛选手提交的代码导出来，打了个包，发在贴吧里。

于是贴吧突然就炸了。

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要知道初赛是网络赛，各个学校的 ACM （或 OI ） 集训队的队员们很可能都是凑在机房一起参与，毕竟毛主席教导我们人多力量大嘛。

所以这就有点意思了：如果同一个题，两份代码长得很像，说明互相抄袭概率就很大。

问题是参赛人数有点多，两两对比这 O(n^2) 的时间复杂度，靠人肉有点儿吃不消；但这么大一个瓜，光看不吃又有点可惜了。

那么这瓜到底该怎么吃呢？

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还好，作为一个竞赛战五渣的我，通过初赛的能力没有，搞事情的能力还是有一点的。

为了对比两份代码的相似度，那我首先得找到一个指标。

作为一个善于 <del>作弊</del> 思考的社会主义三无青年，我估计作弊者在拿到弊友代码后不会直接提交，至少会做些更换变量名之类操作；但竞赛时间紧迫，大概率来不及修改整体框架。

那么，只要我能算出修改的程度，就能判断相似度了：假设两份代码长度分别是 m 、n，修改了 x 个字符， 我们大致可以把 100% - x / ((m + n) / 2) 当成相似度（没被修改的字符占比）。

但如何计算这修改的程度呢？毕竟修改前后代码长度很可能不同，不适合通过逐字比较来找到差别。

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既然直接处理两段代码有点棘手，那不妨先考虑一下简单的 case 。

比如说要将字符串 "a" 改成 "b"，这个简单，只要改一个字符就行。

又比如说要将字符串 "a" 改成 "ab"，这个也简单，只要添加一个字符就行。

再比如说要将字符串 "ab" 改成 "b"，这个依然简单，只要删除一个字符就行。

如果我能算出将一段字符串通过添加、删除、修改三种操作修改成另一个字符串的最少操作次数，应该就能把这瓜给吃了。

好像是找到了方向，但是要怎么实现呢？

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既然直接处理两段代码还是有点棘手，那不妨再考虑一下稍微复杂一点的 case，比如把字符串 X = "baidu" 变成 Y = "bytedance"。

首先，因为 X[0] 和 Y[0] 相同，我们可以把问题简化成：将 "aidu" 变成 "ytedance"，即 X[1..4] => Y[1..8]（后面简记为 X[1:] => Y[1:]）。

接着，X[1] = 'a', Y[1] = 'y'，如上一节所说，这时候我们有三种选择：

• 添加：给 X 添加 'y' ，当成 "byaidu"，于是问题简化为将 "aidu" 变成 "tedance"，即 X[1:] => Y[2:]；（注意，我们在这里把该操作当成一个思维实验就好，不需要真的修改 X，所以这里 "aidu" 对应 X[1:] 而不是 X[2:]）
• 删除：从 X 中删掉 'a' ，当成 "bidu"，问题简化为将 "idu" 变成 ytedance"，即 X[2:] => Y[1:]；
• 修改：把 X 这个 'a' 改成 'y'，当成 '"byidu"，问题简化为将 "idu" 变成 "tedance"，即 X[2:] => Y[2:]；

这三种操作中，后续需要的修改次数最少的那个，再加上 1，就是我们把 X[1:] 改成 Y[1:] 所需的最少次数。

依此类推，如果我们将 X[i:] 变成 Y[j:] 需要 f(i, j) 次操作，由上可得到这样一个公式：

if X[i] == Y[j]:
  f(i, j) = f(i + 1, j + 1)
else:
  f(i, j) = 1 + min(
    f(i, j + 1),    #添加
    f(i + 1, j),    #删除
    f(i + 1, j + 1) #修改
  )

也就是说，我们可以用子问题的最优解来推导出问题的最优解，如果用不说人话的方式，就叫做该问题存在最优子结构。

这么一看，代码是不是呼之欲出了？

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啰嗦了这么多，不能忘了大佬的教导：

说干就干，把上面推导的公式落地成代码，so easy：

def change(x, y):
  def f(i, j):
    if x[i] == y[j]:
      return f(i + 1, j + 1)
    else:
      return 1 + min(
        f(i, j + 1),
        f(i + 1, j),
        f(i + 1, j + 1)
      )
  return f(0, 0)
    
print change("baidu", "bytedance") 

然后跑起来一看：

$ python change.py 
Traceback (most recent call last):
  File "change.py", line 13, in <module>
    print change("baidu", "bytedance")
    ... #省略一大段
  File "change.py", line 3, in f
    if x[i] == y[j]:
IndexError: string index out of range

- 7 -

"index out of range"，越界了 —— 显然，这里漏掉了递归的终止条件。

不过这个简单：如果 X 越界了，说明这时 i == len(X)，那么 Y 还剩几个字符，我们都加上就行，即还需要 len(Y) - j 次操作；或者 Y 越界了，说明 j == len(Y)，我们把 X 剩下的几个字符删掉，即 len(X) - i 次操作。

于是代码变成了：

def change(x, y):
  def f(i, j):
    if i == len(x):
      return len(y) - j
    if j == len(y):
      return len(x) - i

    if x[i] == y[j]:
      return f(i + 1, j + 1)
    else:
      return 1 + min(
        f(i, j + 1),
        f(i + 1, j),
        f(i + 1, j + 1)
      )
  return f(0, 0)

print change("baidu", "bytedance")

跑起来效果杠杠的，马上就得到了 7，算得没毛病。

只可惜这代码还没法用 —— 别说跑那些参赛代码，就连长度为 16 的两个字符串都跑不出结果……

- 8 -

稍微分析一下我们就会发现，它竟然是指数时间复杂度的：

不过仔细观察上图（不仔细也没关系，我给红色高亮了），我们可以发现，为了计算 f(i, j)，我们需要计算 f(i + 1, j + 1)；而且它也被用于计算 f(i, j + 1) 和 f(i + 1, j) 。

这意味着这个问题存在重复子问题，类似于我们用 f(i) = f(i - 1) + f(i - 2) 计算 <del>飞波纳妾</del> fibonacci 数列。

因此我们完全可以将 f(i, j) 存下来、避免重复计算，就像这样：

def change(x, y):
  cache = {}
  def f(i, j):
    if i == len(x):
      return len(y) - j
    if j == len(y):
      return len(x) - i

    if (i, j) not in cache:
      if x[i] == y[j]:
        ans = f(i + 1, j + 1)
      else:
        ans = 1 + min(
          f(i, j + 1),
          f(i + 1, j),
          f(i + 1, j + 1)
        )
      cache[(i, j)] = ans

    return cache[(i, j)]

  return f(0, 0)

注：实际上这里也可以直接用一个二维数组 f[i][j] 来保存 f(i, j)，对 C/C++ 来说实现会更容易，读写效率也更高。

优化以后，因为每个 f(i, j) 只需要计算 1 次、并且可以在常数时间里完成（因为子问题已经计算好了），我们将时间复杂度降到了 O(m * n) ，从而可以在短时间内计算出结果了。

- 9 -

在这个问题里，还有一个很重要的特性是，我们在计算 f(i, j) 的时候，并不关心从 f(0, 0) 到 f(i, j) 的推导过程，或者说从 f(0, 0) 推导到 f(i, j) 的过程对后续计算 f(i, j) 没有任何影响。用不说人话的方式，这就叫做无后效性。

注意，无后效性并不是对所有问题都成立的。

比如在一个 N * N 的迷宫里寻找从坐标 (1, 1) 走到 (N, N) 的一条路径，我们在使用 BFS 或 DFS 搜索时需要将路过的坐标做好标记，避免再次走到，因此从 (1, 1) 到 (x, y) 的路径是会影响从 (x, y) 到 (N, N) 的路径，不满足无后效性。

汇总一下前面提到的这个问题的几个特点：

• 最优子结构
• 重复子问题
• 无后效性

—— 这不就是标准的 动态规划 问题嘛！对应的，第 5 节我们推导出的公式，就是这个动态规划问题的状态转移方程了！

由于满足这几个特性，我们实际上可用迭代的方式，从 f(m, n) 倒推出 f(0, 0)，这样可以使用循环而不是递归，进一步提高代码的运行效率。

另外，对于同一个动态规划问题，状态转移方程也可以不止有一种写法，比如我们可以定义 g(i, j) 为将 X[1..i] 变为 Y[1..j] 的最小操作次数，于是：

if X[i] == Y[j]:
  g(i, j) = g(i - 1, j - 1)
else:
  g(i, j) = 1 + min(
    g(i, j - 1),
    g(i - 1, j),
    g(i + 1, j + 1)
  )

基于这一版状态转移方程，我们就可以从 f(0, 0) 开始逐步计算出 f(m, n)。

具体代码就不在这里贴了，感兴趣的同学可以自己写写看，注意边界值的处理就好。

实际上，这个算法叫做编辑距离，英文名 Levenshtein distance，是一个和普京同名、姓 Levenshtein 的战斗民族大佬在 1965 年提出的算法；该算法经典到 php 的标准库里竟然包含了一个 levenshtein 函数（<del>可见 php 的作者真是太闲了</del>）。

- a -

还没完，在追求性能和效果的路上我们还能走得更远，根据代码本身的特性，我们还有一些优化可以做。

比如说代码的注释是可以先删掉再比较。

比如说代码里的字符串也可以删掉再比较。

比如说代码里的空格，貌似也不影响我们的相似度对比。

通过这样的操作，我们可以大幅缩短了需要对比的代码长度，对于 O(m*n) 的算法而言，这个改善是很可观的。

此外，当时下场切瓜的另一位瓜友将这个思路推到了极致：既然我们认为代码的整体框架不变、改变的只是变量名这些东西，那我们直接把所有字母、数字、空格等字符全删除，只留下标点符号来代表代码的框架，不是更香吗？

这样我们既提升了计算的效率，又进一步提升了计算的效果。

值得一提的是，该瓜友用的不是编辑距离，而是另一个经典的动态规划算法“最长公共子序列（ LCS ）”。

- b -

啰嗦了这么多，终于可以写总结了：

• 计算两个文本的相似度，可以使用编辑距离或者最长公共子序列算法；这两个都是典型的动态规划算法；
• 动态规划问题需要满足最优子结构、重复子问题、无后效性；
• 要解决动态规划问题，先定义状态，推导状态转义方程，再编码；可以用递归也可以用迭代，前者实现简单，后者运行更快；
• 搞事情要考虑后果，本不应该把参赛账号名也直接公开，结果是那次比赛有些人面子上有点不好看；不过年轻时谁没犯点错呢，除了自己谁又还记得呢？

最后，“编辑距离” 是个 LeetCode 的原题（ No. 72，传送门），；“最长公共子序列” 也是个 LeetCode 的原题（ No. 1143，传送门），感兴趣的同学也别错过。

都看到这儿了，不如分享给你的小伙伴吧，感谢~

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