刚刚看到圆周率计算到了 31 万亿位了，突然想到一个循环问题

V2EX = way to explore

V2EX 是一个关于分享和探索的地方

现在注册

已注册用户请登录

这是一个创建于 2078 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

0.9 ，9 的循环，究竟是不是等于 1 来着，直观看来是肯定不等于的，但是从极限的角度来说，肯定是等于的~

等于

圆周率

循环

极限

7 条回复 • 2020-05-27 14:55:34 +08:00

venomes

2019-03-15 11:22:52 +08:00

以前没有读大学之前，初中老师忽悠我的算法：
如果 a=0.9 9 的循环，那么
10*a -a = 9
所以 a = 1

agagega

2019-03-15 18:12:25 +08:00 via iPhone

1 和 0.9 …之间这个鸿沟比你想象中的任何正数都要小，所以…

SeaRecluse

2019-03-19 10:53:04 +08:00

1/9*9 = 1
直观上怎么就不等于了，时间还能换空间呢

bengxy

2019-03-22 19:01:57 +08:00

有理数集合里不存在 0.9 循环这个数，或者说 0.9 循环和 1 是等价的，是值为 1 的两种写法

首先，无限循环小数是有理数的一种写法，所有无限循环小数都可以转化为分数的形式，转换公式为：

假设循环小数 X 的循环部分为 A，有 k 位，则有
10^k * x - x = A
X = A / ( 10^k - 1)

而 0.9 循环找不到分数映射 0.3 循环*3 不是 0.9 循环，而是 1。

也可以这么理解，随便找个非 0 的数 x，自己除自己 x/x，个位上 0，从十分位开始，每一位上 9，除不尽。

http://tieba.baidu.com/photo/p?kw=逻辑&flux=1&tid=3113462825&pic_id=6be0bf4543a98226cd616af68882b9014b90eb67&pn=1&fp=2&see_lz=0&red_tag=g0074824257

而 a=0.9 循环这个定义本身就是不对的

w111

2019-03-28 12:15:26 +08:00 via Android

@venomes 你这个算法可以！

necomancer

2019-05-15 18:13:13 +08:00

整数是很好定义的，说多了都是废话；
有理数是很好定义的，因为是俩整数商；
实数很操蛋，但是因为有理数在实轴上是稠密的，即可以定义一个实数为小于它的所有有理数的集合，比如 1 = {r:r<1,r\in Q}；
假定 A = {r:r<0.9999...,r\in Q},B={r:1,r\in Q},则
r\in A -> r<1-(1/10)^n -> r<1 -> r\in B;
r\in B -> r=a/b<1 -> a<b,a,b\in Z -> a<=b-1 -> r =a/b<=1-1/b<1-(1/10)^b -> r\in A;
A=B

atuocn

2020-05-27 14:55:34 +08:00

1/3 = 0.99999...
1/3 x 3 = 1
按知乎上大佬的说法，这是 10 进制的缺陷，无法和实数一一对应。